什么是复数？

复数由实部和虚部组成，形式为 a + bj，其中：

• a 是实部
• b 是虚部
• j 是虚数单位（在数学中常用 i，但在工程中常用 j）

创建复数变量

1. 使用字面值创建

# 创建复数变量
z1 = 3 + 4j       # 实部3，虚部4
z2 = 2.5 - 3.7j   # 实部2.5，虚部-3.7
z3 = 6j           # 实部0，虚部6
z4 = -2 - 9.2j    # 实部-2，虚部-9.2

print("z1 =", z1)  # 输出: z1 = (3+4j)
print("z2 =", z2)  # 输出: z2 = (2.5-3.7j)
print("z3 =", z3)  # 输出: z3 = 6j
print("z4 =", z4)  # 输出: z4 = (-2-9.2j)

2. 使用complex()函数创建

# 使用complex()函数创建复数
c1 = complex(3, 4)     # 实部3，虚部4 → (3+4j)
c2 = complex(2.5, -3.7) # 实部2.5，虚部-3.7 → (2.5-3.7j)
c3 = complex(0, 6)     # 实部0，虚部6 → 6j
c4 = complex(-2)       # 实部-2，虚部0 → (-2+0j)

print("c1 =", c1)
print("c2 =", c2)
print("c3 =", c3)
print("c4 =", c4)

访问复数的实部和虚部

使用.real和.imag属性访问复数的实部和虚部：

z = 3 + 4j

# 获取实部和虚部
real_part = z.real    # 3.0
imag_part = z.imag    # 4.0

print("实部:", real_part)
print("虚部:", imag_part)

复数的基本运算

1. 加法与减法

a = 2 + 3j
b = 4 - 5j

# 加法
sum_result = a + b  # (2+4) + (3-5)j → 6 - 2j

# 减法
diff_result = a - b  # (2-4) + (3-(-5))j → -2 + 8j

print("加法结果:", sum_result)
print("减法结果:", diff_result)

2. 乘法与除法

a = 1 + 2j
b = 3 + 4j

# 乘法
product = a * b  # (1*3 - 2*4) + (1*4 + 2*3)j → (3-8) + (4+6)j → -5 + 10j

# 除法
quotient = a / b  # 结果约等于 0.44 + 0.08j

print("乘法结果:", product)
print("除法结果:", quotient)

3. 共轭复数

z = 3 + 4j
conjugate_z = z.conjugate()  # 3 - 4j

print("原复数:", z)
print("共轭复数:", conjugate_z)

复数的数学函数

使用cmath模块处理复数的数学运算：

import cmath

z = 1 + 1j

# 计算复数的模（magnitude）
magnitude = abs(z)  # sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2) ≈ 1.414

# 计算复数的相位角（phase angle），单位为弧度
phase = cmath.phase(z)  # π/4 ≈ 0.785

# 转换为极坐标形式
polar = cmath.polar(z)  # (magnitude, phase)

# 从极坐标转换回复数
rectangular = cmath.rect(magnitude, phase)

# 计算复数的平方根
sqrt_z = cmath.sqrt(z)

# 计算复数的指数
exp_z = cmath.exp(z)

# 计算复数的自然对数
log_z = cmath.log(z)

print("模:", magnitude)
print("相位角:", phase)
print("极坐标:", polar)
print("从极坐标恢复:", rectangular)
print("平方根:", sqrt_z)
print("指数:", exp_z)
print("自然对数:", log_z)

实际应用场景

1. 信号处理

复数用于表示交流电路中的电压、电流和阻抗：

# 计算串联电路的阻抗
R = 4.0  # 电阻 (欧姆)
C = 1e-6 # 电容 (法拉)
f = 50   # 频率 (赫兹)

# 计算容抗 (Xc = 1/(2πfC))
Xc = 1 / (2 * cmath.pi * f * C)

# 创建复数阻抗 Z = R - jXc
Z = R - 1j * Xc

print(f"阻抗: {Z} 欧姆")
print(f"阻抗模: {abs(Z):.2f} 欧姆")
print(f"相位角: {cmath.phase(Z):.2f} 弧度")

2. 复变函数

计算复平面上的函数值：

# 计算函数 f(z) = z^2 + 1 在复平面上的值
def f(z):
    return z**2 + 1

# 在复平面上计算点
z1 = 1 + 1j
result = f(z1)

print(f"f({z1}) = {result}")

3. 几何变换

复数可用于表示二维平面上的旋转：

# 定义旋转角度（90度）
angle = cmath.pi / 2  # 90度，单位为弧度
rotation_factor = cmath.exp(1j * angle)

# 原始点
point = 1 + 2j

# 旋转点
rotated_point = point * rotation_factor

print(f"原始点: {point}")
print(f"旋转90度后: {rotated_point}")

总结

• Python使用complex类型表示复数，形式为a + bj
• 使用z.real和z.imag访问实部和虚部
• 支持基本的算术运算：加、减、乘、除
• cmath模块提供复数的数学函数（模、相位角、平方根等）
• 复数在工程计算、信号处理、物理和数学中应用广泛
• 复数提供了一种优雅的方式表示二维空间中的旋转和变换

通过本教程，您应该已经掌握了在Python中使用复数的基础知识和操作技巧。 复数作为数学和工程领域的重要概念，在Python中得到了很好的支持， 掌握它们将为您解决复杂问题提供强大的工具。